सिद्ध कीजिए कि $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 2 \tan^{3} x \, dx = 1 - \log 2$.

(N/A) माना $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 2 \tan^{3} x \, dx$.
हम $\tan^{3} x$ को $\tan x (\sec^{2} x - 1)$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x (\sec^{2} x - 1) \, dx$.
$I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \sec^{2} x \, dx - 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \, dx$.
प्रथम समाकलन के लिए,माना $u = \tan x$,तो $du = \sec^{2} x \, dx$. जब $x = 0, u = 0$ और जब $x = \frac{\pi}{4}, u = 1$.
$2 \int_{0}^{1} u \, du = 2 \left[ \frac{u^{2}}{2} \right]_{0}^{1} = 1$.
दूसरे समाकलन के लिए,$\int \tan x \, dx = \log |\sec x| = -\log |\cos x|$.
अतः,$-2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \, dx = 2 [\log |\cos x|]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = 2 (\log \frac{1}{\sqrt{2}} - \log 1) = 2 (\log 2^{-1/2} - 0) = 2 \times (-\frac{1}{2}) \log 2 = -\log 2$.
इन दोनों को मिलाने पर,$I = 1 - \log 2$.
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।